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Raiz quadrada

Matematicamente, uma raiz quadrada de um número x é um número que, quando multiplicado por si próprio, iguala x. A raiz quadrada positiva de um número real não negativo x é simbolizada por √x. Por exemplo: $sqrt{16} = 4,$ porque 4 × 4 = 16, e √2 = 1.41421... . As raízes quadradas são importantes para a resolução de equações quadráticas (equações do 2º grau). A extensão da função raiz quadrada a números negativos leva à criação dos números imaginários e ao corpo dos números complexos.

O primeiro uso do símbolo da raiz quadrada remonta ao século XVI. Pensa-se que a sua origem está na letra r minúscula, primeira letra deradix (em latim, raiz).

Pode também ser uma operação geométrica - a partir de um segmento de recta dado determinar um outro cujo comprimento seja igual à raíz quadrada do inicial.

Propriedades

As seguintes propriedades da função raiz quadrada são válidas para todos os números reais positivos x e y:

$sqrt{x}+sqrt{y} = sqrt{x+y+2sqrt{xy}}$

$sqrt{x}-sqrt{y} = sqrt{x+y-2sqrt{xy}}$ sempre que x ≥ y

$sqrt{xy} = sqrt{x} sqrt{y}$

$sqrt{ rac{x}{y}} = rac{sqrt{x}}{sqrt{y}}$

$sqrt{x^2} = left|x ight|$ para todo o número real x (ver valor absoluto)

$sqrt{x} = x^{ rac{1}{2}}$

A aplicação da função raiz quadrada a um número racional dá em geral origem a um número algébrico; √x é racional se e somente se xpuder ser representado por uma razão entre dois quadrados perfeitos. Por exemplo, √2 é irracional (ver artigo raiz quadrada de dois).

Geometricamente, a função raiz quadrada transforma a área de um quadrado no comprimento do seu lado.

Admita-se que x e a são reais, e que x² = a, e que se quer determinar x. Um erro frequente é aplicar a função raiz quadrada e concluir que x= √a. Tal não é verdade uma vez que a raiz quadrada de x² não é x, mas sim o seu valor absoluto |x| (uma das propriedades acima mencionadas). Portanto, apenas se pode concluir que |x| = √a, ou, de outra forma, que x = ±√a.

Quando se pretende provar que a função raiz quadrada é contínua ou diferenciável, ou no cálculo de certos limites, a seguinte propriedade é de grande utilidade:

$sqrt{x} - sqrt{y} = rac{x-y}{sqrt{x} + sqrt{y}}$

Tal é válido para quaisquer x e y não negativos, sendo pelo menos um deles diferente de zero.

A função f(x) = √x tem o seguinte gráfico:

A função é contínua para todo o x não negativo, e diferenciável para todo o x positivo. (não é diferenciável para x = 0 uma vez que o declive datangente à curva nesse ponto é +∞. A sua derivada é dada por

$f'(x) = rac{1}{2sqrt x}$

As séries de Taylor para x = 1 podem ser encontradas usando o teorema binomial:

$sqrt{x+1}=1 + sum_{n=1}^infty { (-1)^{n+1} (2n-2)! over n! (n-1)! 2^{2n-1} }x^n$

$= 1 + rac{1}{2}x - rac{1}{8}x^2 + rac{1}{16} x^3 - rac{5}{128} x^4 + dots$

para |x| < 1.

Método Babilônio (exemplificado)

O método babilônio é um método que dá uma aproximação da raiz quadrada. Ou seja não é um método perfeito, apresenta uma margem de erro (muito pequena, desprezível para cálculos que não necessitam muita precisão. De fato, dependendo da aproximação todas as casas decimais estarão corretas). Mas se for para cálculos simples, é bom, pois não é necessário tanto rigor.

Digamos que se queira extrair a raiz quadrada de 66.

Ache o quadrado perfeito que mais se aproxima com o número.

5²=25
6²=36
7²=49
8²=64
9²=81

Nesse caso o quadrado que mais se aproxima é 64. Nota: Usa-se sempre o quadrado menor que o número procurado, mesmo que o quadrado maior seja mais próximo.

Extraia a raiz quadrada do quadrado que mais se aproximou. A raiz quadrada de 64 é 8. Nesse exemplo chamaremos 8 como A.

Divida o número original por A, até que se tenha o dobro de casas decimais que A.

66:8 = 8,2

Nesse exemplo chamaremos 8,2 como B

Somamos A com B e dividimos por 2. Esse número chamaremos de C.

8 + 8,2 = 16,2
16,2 : 2 = 8,1

Agora dividimos o número original (nesse caso 66) por C até que se tenha o dobro de casas decimais de C. O resultado chamaremos de D.

66 : 8,1 = 8,148

Somamos C e D e dividimos por 2.Esse número chamaremos de E.

8.1 + 8.148 = 16.248
16.248 : 2 = 8,124

Essa seria a raiz quadrada de 66. Poderíamos dividir o 66 por E e continuar esse mesmo processo, só que isso acabaria por dar algumas imprecisões. E como geralmente não se necessita uma raiz quadrada precisíssima, então podemos dizer que é desnecessário prosseguir. Mas caso queira continuar, o algoritmo continua o mesmo e você pode tentar chegar á 10 ou 12 casas decimais. Mas o resultado seria um pouco impreciso.

Então podemos dizer que a raiz quadrada de 66 é aproximadamente 8,124. Ao testarmos numa calculadora: 8,124038405... Ou seja esse método é bom para achar a raiz quadrada.

Encontrando raízes quadradas usando aritmética mental

Baseado na Equação de Pell's este é um método para obter a raiz quadrada simplesmente subtraindo números ímpares.

Ex: Para obter $sqrt{27}$ nós começamos com a seguinte sequência:

$27 - 1 = 26$
$26 - 3 = 23$
$23 - 5 = 18$
$18 - 7 = 11$
$11 - 9 = 2$

5 passos foram tomados e isso nos leva que a parte inteira da raiz quadrada de 27 é 5.

Efetua-se: resultado do último passo * 100 e número de passos da sequência anterior * 20 + 1

$2 imes 100 = 200$ e $5 imes 20 + 1 = 101$

$200 - 101 = 99$

O próximo número é 1.

Em seguida efetua-se: resultado do último passo * 100 e ((número de passos da primeira sequência * 10) + (número de passos da segunda sequência)) * 20 + 1

$99 imes 100 = 9900$ e $51 imes 20 + 1 = 1021$

$9900 - 1021 = 8879$
$8879 - 1023 = 7856$
$7856 - 1025 = 6831$
$6831 - 1027 = 5804$
$5804 - 1029 = 4775$
$4775 - 1031 = 3744$
$3744 - 1033 = 2711$
$2711 - 1035 = 1676$
$1676 - 1037 = 639$

O próximo número é 9.

O resultado nos dá 5.19 com uma aproximação da raiz quadrada de 27.

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